Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M．

（1）求經過B、E、C三點的拋物線的解析式；

（2）若點P為線段FG上一個動點（與F、G不重合），當P在什么位置時，以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，請求出此時點P的坐標；

（3）若點P為直線FG上一個動點，Q為拋物線上任一點，拋物線的頂點為N，探究以P、Q、M、N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+3x+4；(2) P坐標是（2，4）；(3)見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

（2）根據等腰三角形的定義，分OP=OC，PC=OC，OP=PC三種情況即可求得P的坐標；

（3）設點P為（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），則PQ=-x2+2x+2，根據PQNM是平行四邊形，則PQ=MN，即可求得PM的長，判斷是否成立，從而確定P的坐標．

（1）∵B（-1，0）E（0，4）C（4，0）

設解析式是y=ax2+bx+c

可得，解得

∴y=-x2+3x+4；

（2）∵點A坐標是（-2，0），點D坐標是（0，2）

直線AD的解析式是y=x+2，

設點P坐標是（x，x+2），

當OP=OC時，x2+（x+2）2=16解得x＝1±（x＝1不符合，舍去）此時點P（1+，3+），

當PC=OC時，（x+2）2+（4-x）2=16方程無解，

當PO=PC時，點P在OC的中垂線上，

∴點P橫坐標是2，得點P坐標是（2，4），

∴當△POC是等腰三角形時，點P坐標是（1+，3+）或（2，4）；

（3） ，，，