Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過C點的切線垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E，∠CAB=30°

（1）如圖①，求∠DAC的大��；
（2）如圖②，若⊙O的半徑為4，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，如圖①，

∵DC切⊙O于點C，∴OC⊥DC，又∵AD⊥DC，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=30°，∴∠DAC=30°；

（2）解：連OE，OC，如圖②，

∵∠EOC=2∠DAC=60°，∴△OEC為等邊三角形，∴EC=OE=4，∠OCE=60°，∴∠DCE=30°，

∴DE= CE=2．

【解析】（1）：連接OC根據切線的性質定理得出OC⊥DC，又AD⊥DC，根據同一平面內垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出AD∥OC，根據平行線的性質得出∠DAC=∠ACO，根據等邊對等角得出∠OCA=∠CAB=30°，利用等量代換得出結論；
（2）連OE，OC，根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得出∠EOC=2∠DAC=60°，根據有一個角為60的等腰三角形是等邊三角形得出△OEC為等邊三角形，根據等邊三角形三邊相等得出EC=OE=4，然后利用含30角的直角三角形的邊角關系得出DE的長。
【考點精析】關于本題考查的平行線的判定與性質和含30度角的直角三角形，需要了解由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半才能得出正確答案．