Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2， ），頂點坐標為N（﹣1， ），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+；（2）當△PBC為等腰三角形時，點P的坐標為（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）在直線AC上存在一點Q（﹣， ），使△QBM的周長最小．

【解析】分析：（1）先由拋物線的頂點坐標為N（﹣1， ），可設其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（﹣2， ）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點A、B，與y軸交點C的坐標，再根據勾股定理得到BC==2．設P（﹣1，m），當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，由軸對稱的性質可知此時△QBM的周長最小，由B（﹣3，0），C（0， ），根據中點坐標公式求出B′（3，2），再運用待定系數法求出直線MB′的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=﹣x+，然后解方程組，即可求出Q點的坐標．

本題解析：

（1）由拋物線頂點坐標為N（﹣1，），可設其解析式為y=a（x+1）2+，

將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，

解得a=﹣，

故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+；

（2）∵y=﹣x2﹣x+，

∴x=0時，y=，

∴C（0，）．

y=0時，﹣ x2﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

設P（﹣1，m），

當CP=CB時，有CP==2，解得m=±；

當BP=BC時，有BP==2，解得m=±2；

當PB=PC時， =，解得m=0，

綜上，當△PBC為等腰三角形時，點P的坐標為（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，

∵B、B′關于直線AC對稱，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

所以此時△QBM的周長最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

設直線MB′的解析式為y=kx+n，

將M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直線MB′的解析式為y=x+．

同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直線AC上存在一點Q（﹣， ），使△QBM的周長最小．