Question

【題目】已知正方形ABCD，點M邊AB的中點．
（1）如圖1，點G為線段CM上的一點，且∠AGB=90°，延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點E、F．

①求證：BE=CF；
②求證：BE2=BCCE．
（2）如圖2，在邊BC上取一點E，滿足BE2=BCCE，連接AE交CM于點G，連接BG并延長CD于點F，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，

∴∠ABG+∠CBF=90°，

∵∠AGB=90°，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠BAG=∠CBF，

∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

②∵∠AGB=90°，點M為AB的中點，

∴MG=MA=MB，

∴∠GAM=∠AGM，

又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，

∴∠CGE=∠CBG，

又∠ECG=∠GCB，

∴△CGE∽△CBG，

∴ = ，即CG2=BCCE，

由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，

由①知BE=CF，

∴BE=CG，

∴BE2=BCCE；

（2）

解：延長AE、DC交于點N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠N=∠EAB，

又∵∠CEN=∠BEA，

∴△CEN∽△BEA，

∴ = ，即BECN=ABCE，

∵AB=BC，BE2=BCCE，

∴CN=BE，

∵AB∥DN，

∴ = = ，

∵AM=MB，

∴FC=CN=BE，

不妨設正方形的邊長為1，BE=x，

由BE2=BCCE可得x2=1（1﹣x），

解得：x1= ，x2= （舍），

∴ = ，

則tan∠CBF= = = ．

【解析】（1）①由正方形的性質知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，結合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，證△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜邊AB中線知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，結合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，從而證△CGE∽△CBG得CG2=BCCE，由BE=CF=CG可得答案；（2）延長AE、DC交于點N，證△CEN∽△BEA得BECN=ABCE，由AB=BC、BE2=BCCE知CN=BE，再由 = = 且AM=MB得FC=CN=BE，設正方形的邊長為1、BE=x，根據BE2=BCCE求得BE的長，最后由tan∠CBF= = 可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對相似三角形的應用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．