Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）Q的坐標為（3，）或′（3，）或（3，）或（3，）．

【解析】

試題分析：（1）拋物線的解析式可變形為y=（x+1）（x﹣3），從而可得到點A和點B的坐標，然后再求得點E的坐標，設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入求得k和b的值，從而得到AE的解析式；

（2）設直線CE的解析式為y=mx﹣，將點E的坐標代入求得m的值，從而得到直線CE的解析式，過點P作PF∥y軸，交CE與點F．設點P的坐標為（x，），則點F（x，），則FP=．由三角形的面積公式得到△EPC的面積=，利用二次函數的性質可求得x的值，從而得到點P的坐標，作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．然后利用軸對稱的性質可得到點G和點H的坐標，當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；

（3）由平移后的拋物線經過點D，可得到點F的坐標，利用中點坐標公式可求得點G的坐標，然后分為QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三種情況求解即可．

試題解析：（1）∵，∴y=（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當x=4時，y=，∴E（4，）．

設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入得：，解得：k=，b=，∴直線AE的解析式為．

（2）設直線CE的解析式為y=mx﹣，將點E的坐標代入得：4m﹣=，解得：m=，∴直線CE的解析式為．

過點P作PF∥y軸，交CE與點F．

設點P的坐標為（x，），則點F（x，），則FP=（）﹣（）=，∴△EPC的面積=×（）×4=，∴當x=2時，△EPC的面積最大，∴P（2，﹣）．

如圖2所示：作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點，∴k（，﹣）．

∵點H與點K關于CP對稱，∴點H的坐標為（，﹣）．

∵點G與點K關于CD對稱，∴點G（0，0），∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH，∴GH= =3，∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）如圖3所示：

∵y′經過點D，y′的頂點為點F，∴點F（3，﹣）．

∵點G為CE的中點，∴G（2，），∴FG= =，∴當FG=FQ時，點Q（3，），Q′（3，）．

當GF=GQ時，點F與點Q″關于y=對稱，∴點Q″（3，）．

當QG=QF時，設點Q1的坐標為（3，a）．

由兩點間的距離公式可知：a+=，解得：a=，∴點Q1的坐標為（3，）．

綜上所述，點Q的坐標為（3，）或′（3，）或（3，）或（3，）．