Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE.其中正確結論有（　　）個

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等邊三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正確）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正確），

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正確）．

設EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=﹣x=，

∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④錯誤），

∵S△CEF=，

S△ABE==，

∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正確）．

綜上所述，正確的有4個，

故選：A．