Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點E，與過點C的⊙O的切線交于點D．
（1）若AC=4，BC=2，求OE的長．
（2）試判斷∠A與∠CDE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =2 ，

∴OA= AB= ，

∵OD⊥AB，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

又∵∠A=∠A，

∴△AOE∽△ACB，

∴ ，即 ，

解得：OE=

（2）解：∠CDE=2∠A，理由如下：

連接OC，如圖所示：

∵OA=OC，

∴∠1=∠A，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠2+∠CDE=90°，

∵OD⊥AB，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠CDE，

∵∠3=∠A+∠1=2∠A，

∴∠CDE=2∠A．

【解析】（1）由圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB= =2 ，得出OA= AB= ，證明△AOE∽△ACB，得出對應邊成比例即可得出答案；（2）連接OC，由等腰三角形的性質得出∠1=∠A，由切線的性質得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90°，證出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性質即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．