Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣b（a＞0）與x軸的一個交點為B（﹣1，0），與y軸的負半軸交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；
（2）以AD為直徑的圓經過點C．
①求拋物線的解析式；
②點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對稱軸是直線：x=1，

點A的坐標是（3，0）

（2）

解：①如圖，連接AC、AD，過D作DM⊥y軸于點M，

解法一：利用△AOC∽△CMD，

在y=ax2﹣2ax﹣b（a＞0）中，當x=1時，y=﹣a﹣b，則D的坐標是（1，﹣a﹣b）．

∵點A、D、C的坐標分別是A（3，0），D（1，﹣a﹣b）、

C（0，﹣b），

∴AO=3，MD=1．

由 ，

得 ，

∴3﹣ab=0．

又∵0=a（﹣1）2﹣2a（﹣1）﹣b，

∴由 ，

得 ，

∴函數解析式為：y=x2﹣2x﹣3．

解法二：利用以AD為直徑的圓經過點C，

∵點A、D的坐標分別是A（3，0）、D（1，﹣a﹣b）、C（0，﹣b），

∴AC= ，CD= ，AD=

∵AC2+CD2=AD2

∴3﹣ab=0①

又∵0=a（﹣1）2﹣2a（﹣1）﹣b②

由①、②得a=1，b=3

∴函數解析式為：y=x2﹣2x﹣3．

②F點存在．

如圖所示，當四邊形BAFE為平行四邊形時

則BA∥EF，并且BA=EF．

∵BA=4，

∴EF=4

由于對稱軸為x=1，

∴點F的橫坐標為5．

將x=5代入y=x2﹣2x﹣3得y=12，∴F（5，12）．

根據拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側拋物線上也存在點F，

使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時點F坐標為（﹣3，12）．

當四邊形BEAF是平行四邊形時，點F即為點D，

此時點F的坐標為（1，﹣4）．

綜上所述，點F的坐標為（5，12），（﹣3，12）或（1，﹣4）．

【解析】（1）已知拋物線解析式和點B的坐標求出a值，利用對稱軸x=﹣ 求出對稱軸以及點A的坐標．（2）①本題要靠輔助線的幫助．連接AC，AD，過DM⊥y軸于點M．證明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．②證明四邊形BAFE為平行四邊形，求出BA，EF得出點F的坐標．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．