Question

【題目】已知正方形ABCD和正方形CEFG，連結AF交BC于點O，點P是AF的中點，過點P作PH⊥DG于H，CD=2，CG=1．

（1）如圖1，點D、C、G在同一直線上，點E在BC邊上，求PH的長；

（2）把正方形CEFG繞著點C逆時針旋轉α（0°＜α＜180°）

①如圖2，當點E落在AF上時，求CO的長；

②如圖3，當DG=時，求PH的長．

Answer 1

【答案】（1）PH=；（2）①CO= ；②PH=．

【解析】試題分析：（1）先判斷出四邊形APGF是梯形，再判斷出PH是梯形的中位線，得到PH=（FG+AD）；

（2）①先判斷出△COE∽△AOB，得到AO是CO的2倍，設出CO，表示出BO，AO，再用勾股定理計算，②先找出輔助線，再判斷出△ARD≌△DSC，△CSG≌△GTF，求出AR+FT，最后用梯形中位線即可．

試題解析：（1）PH⊥CD，AD⊥CD，

∴PH∥AD∥FG，

∵點P是AF的中點，

∴PH是梯形APGF的中位線，

∴PH=（FG+AD）=，

（2）①∵∠CEO=∠B=90°，∠COE=∠AOB，

∴△COE∽△AOB，

∴，

∴，

設CO=x，

∴AO=2x，BO=2﹣x，

在△ABO中，根據勾股定理得，4+（2﹣x）2=（2x）2，

∴x=或x=（舍），

∴CO=x=．

②如圖3，

分別過點A，C，F作直線DG的垂線，垂足分別為R，S，T，

∵∠ADR+∠CDS=90°，∠CDS+∠DCS=90°，

∴∠ADR=∠DCS，

∵∠ADR=∠CSD=90°，

∵AD=CD

∴△ARD≌△DSC，

∴AR=DS，

同理：△CSG≌△GTF，

∴SG=FT，

∴AR+FT=DS+SG=DG=，

同（1）的方法得，PH是梯形ARTF的中位線，

∴PH=（AR+FT）=．