Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個單位/S的速度由點A沿AC方向在AC上移動，設移動時間為t（單位：s）．

（1）當t為何值時，⊙P與AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于點D，如果⊙P和線段BC交于點E．求當t為何值時，四邊形PDBE為平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵過P作PH⊥AB于H，

又∵⊙P與AB相切，

∴PH=1，

∴∠AHP=∠C=90°，∠A=∠A，

∴△APH∽△ABC，

∴ ，

∵△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∴ ，

∴AP= ，

∴當t= 時，⊙P與AB相切

（2）解：∵PD⊥AC，∠C=90°，

∴PD∥BE，

∴當PE∥AB時，四邊形PDBE為平行四邊形．

∴△CPE∽△CAB，

∴ ，

∴ ，

∴CP= ，

∴AP=AC﹣CP= ，

∴當t= 時，四邊形PDBE為平行四邊形．

【解析】（1）首先過P作PH⊥AB于H，由⊙P與AB相切，可得PH=1，易證得△APH∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，可得 ，繼而求得AP的長；即可得當t為何值時，⊙P與AB相切；（2）由PD⊥AC，∠C=90°，可證得PD∥BC，繼而可得當PE∥AB時，四邊形PDBE為平行四邊形，則可得△CPE∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CP的長，繼而求得答案．