Question

【題目】已知，如圖1，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，且，．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，點是拋物線第一象限上一點，連接交軸于點，設點的橫坐標為，線段長為，求與之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，過點作直線軸，在上取一點（點在第二象限），連接，使，連接并延長交軸于點，過點作于點，連接、、．若時，求值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先令代入拋物線的解析式中求得與軸交點的坐標，根據可得的坐標，從而得的坐標，利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）如圖2，設，證明，列比例式可得結論；

（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形和等腰直角三角形，先得，則是等腰直角三角形，得，由，得，求得，證明是等腰直角三角形，及，則，代入可得的值，并根據（2）中的點只在第一象限進行取舍．

（1）如圖1，當時，

∴

∴

∵

∴

∴，

把，代入拋物線中得：

解得：

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖2，設

過作軸于

∵

∴

∴

∴

∴；

（3）如圖3，連接，延長交軸于

由（2）知：，

∴

∴

∴是等腰直角三角形

∴，

∵

∴

∴，，

∵

∴

∵

∴

∵

∴是等腰直角三角形

∴，

∴

∴

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

，

∵

∴，不符合題意，舍去

∴．