Question

如圖，在平面直角坐標系內，⊙C與y軸相切于D點，與x軸相交于A（2，0）、B（8，0）兩點，圓心C在第四象限.

⑴ 求點C的坐標；
⑵ 連結BC并延長交⊙C于另一點E，若線段BE上有一點P，使得AB²＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？請給出你的結論，并說明理由；
⑶ 在直線BE上是否存在點Q，使得AQ²＝BQ·EQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，也請說明理由.

Answer 1

（1）C（5，-4）（2）能，理由見解析（3）Q₁(5, -4) Q₂（5.84，-2.88）Q₃（，）

解： ⑴ C（5，-4）；(過程1分，縱、橫坐標答對各得1分)    ………… 3分  
⑵ 能           …………………………………4分
連結AE ，∵BE是⊙O的直徑， ∴∠BAE=90°.      …………5分
在△ABE與△PBA中，AB²＝BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA .             ……………………………………7分
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .         …………………8分
⑶ 分析：假設在直線EB上存在點Q，使AQ²＝BQ· EQ. Q點位置有三種情況：
①若三條線段有兩條等長，則三條均等長,于是容易知點C即點Q；
②若無兩條等長，且點Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足；
③若無兩條等長，且當點Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點A.設Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質、切割線定理、勾股定理、三角函數或直線解析式等可得多種解法.
解題過程：
① 當點Q₁與C重合時，AQ₁=Q₁B=Q₁E, 顯然有AQ₁²＝BQ₁· EQ₁ ,
∴Q₁(5, -4)符合題意；            ……………………………9分
② 當Q₂點在線段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°
∴點Q₂為AQ₂在BE上的垂足，          ……………………10分
∴AQ₂== 4.8（或）.
∴Q₂點的橫坐標是2+ AQ₂·∠BAQ₂= 2+3.84=5.84,
又由AQ₂·∠BAQ₂=2.88,
∴點Q₂（5.84，-2.88）,          ………………………11分
③方法一：若符合題意的點Q₃在線段EB外,
則可得點Q₃為過點A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點.

由Rt△Q₃BR∽Rt△EBA，△EBA的三邊長分別為6、8、10,
故不妨設BR=3t，RQ₃=4t，BQ₃=5t,          ……………………12分
由Rt△ARQ₃∽Rt△EAB得，      ………………………13分
即得t=，
〖注:此處也可由列得方程； 或由AQ₃² = Q₃B·Q₃E=Q₃R²+AR²列得方程)等等〗
∴Q₃點的橫坐標為8+3t=， Q₃點的縱坐標為，
即Q₃（，） .         …………14分
方法二：如上所設與添輔助線, 直線 BE過B(8, 0), C(5, -4), 
∴直線BE的解析式是 .           ………………12分
設Q₃（，）,過點Q₃作Q₃R⊥x軸于點R,
∵易證∠Q₃AR =∠AEB得 Rt△AQ₃R∽Rt△EAB, 
∴ , 即   ,       ………………13分
∴t= ,進而點Q₃的縱坐標為，∴Q₃（，）.  ………14分
方法三：若符合題意的點Q₃在線段EB外,連結Q₃A并延長交軸于F,
∴∠Q₃AB =∠Q₃EA，,
在R t△OAF中有OF=2×=，點F的坐標為（0，）,
∴可得直線AF的解析式為 ,         …………………12分
又直線BE的解析式是 ,            ………………13分
∴可得交點Q₃（，）.             ……………………14分
(1)根據切割線定理求OD，,即可求得C的縱坐標，由圖即可求得C的橫坐標
(2)連結AE，通過AB²＝BP· BE，求得△ABE∽△PBA， 因為BE是⊙O的直徑， 所以∠BAE=90°，從而求得AP⊥BE
⑶假設在直線EB上存在點Q，使AQ²＝BQ· EQ. Q點位置有三種情況：①若三條線段有兩條等長，則三條均等長,于是容易知點C即點Q；②若無兩條等長，且點Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足；③若無兩條等長，且當點Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點A.設Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質、切割線定理、勾股定理、三角函數或直線解析式等可得多種解法.