Question

【題目】自定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“等分積周線”.

（1）如圖1，已知△ABC，AC≠BC，過點C能否畫出△ABC的一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法，若不能，請說明理由.

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足為F，交BC于點E，已知AB=3，BC=8，CD=5.求證：直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；

（3）如圖3，在△ABC中，AB=BC=6，AC=8，請你畫出△ABC的一條“等分積周線”EF（要求：直線EF不過△ABC的頂點，交邊AC于點F，交邊BC于點E）,并說明EF為“等分積周線”的理由.

Answer 1

【答案】（1）不能，理由見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC=S△DBC，得出AC≠BC，進而得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理可得出：AB2+BE2=CE2+DC2，進而得出BE=5，CE=3，進而得出周長與面積分別相等得出答案即可；
（3）在AC上取一點F，使得FC=AB=6，在BC上取一點E，使得BE=2，作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，結合全等三角形的判定與性質得出答案．

（1）不能，

理由：如答圖1，若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC=S△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴過點C不能畫出一條“等分積周線”
（2）如答圖2，連接AE、DE，設BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S△AEF=S△DEF，

∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理可得出：
AB2+BE2=CE2+DC2，即32+x2=（8-x）2+52，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S△ABE=S△DCE，
∴S四邊形ABEF=S△ABE+S△AEF，

S四邊形DCEF=S△DEF+S△DCE，
∴S四邊形ABEF=S四邊形DCEF，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；
（3）如答圖3，在AC上取一點F，使得FC=AB=6，在BC上取一點E，使得BE=2，
作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，
理由：由作圖可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一點G，使得CG=AF=2，則有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中，

，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF=S△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S△BFE=S△EFG，
∴S△EFC=S四邊形ABEF，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分積周線，
若如答圖4，當BM=2cm，AN=6cm時，直線MN也是△ABC的等分積周線．（其實是同一條）