Question

【題目】如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 BC 的中點(diǎn)，F 是 CD 上一點(diǎn)，且 CF CD ，

求證：（1）∠AEF＝90°；

（2） ∠BAE＝∠EAF．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解 （2）證明見詳解

【解析】

（1）設(shè)正方形的邊長為4a，先依據(jù)勾股定理求得AE、AF、EF的長，然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥AF于G，求出EG的長，得出BE=EG，則結(jié)論得證．

解：（1）證明：設(shè)AB=4a，

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴BE=CE=2a，

∵CF= CD，

∴CF=a，DF=3a，

∴AE=a，EF=a，AF==5a，

∵AE2+EF2=(2a)2+(a)2=25a2，AF2=25a2，

∴AE2+EF2=AF2

∴∠AEF=90°；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥AF于G，

∵S△AEF=×2a×a=×5a×EG，

∴EG=2a，

∴BE=EG，

又∵∠B=∠AGE=90°，

∴∠BAE=∠EAF．