Question

【題目】已知：如圖①，BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線．

（1）當∠BAC=40°時，∠BPC=　 　，∠BQC=　 　；

（2）當BM∥CN時，求∠BAC的度數；

（3）如圖②，當∠BAC=120°時，BM、CN所在直線交于點O，直接寫出∠BOC的度數．

Answer 1

【答案】(1) 70°，125°；(2) ∠BAC=60° (3) 45°

【解析】

（1）根據三角形的外角性質分別表示出∠DBC與∠BCE，再根據角平分線的性質可求得∠CBP+∠BCP，最后根據三角形內角和定理即可求解；根據角平分線的定義得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度數，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）根據平行線的性質得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）根據題意得到∠MBC+∠NCB，再根據三角形外角的性質和三角形內角和定理得到∠BOC的度數.

（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，

∵BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，

∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，

∴∠BPC=180°﹣110°=70°，

∵BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，

∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，

∴∠QBC+∠QCB=55°，

∴∠BQC=180°﹣55°=125°；

（2）∵BM∥CN，

∴∠MBC+∠NCB=180°，

∵BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，

∴（∠DBC+∠BCE）=180°，

即（180°+∠BAC）=180°，

解得∠BAC=60°；

（3）∵∠BAC=120°，

∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，

∴∠BOC=225°﹣180°=45°．