Question

【題目】已知如圖，點 C 在以 AB 為直徑的⊙O 上，點 D 在 AB 的延長線上，∠BCD =∠A.

（1）求證：CD 為⊙O 的切線；

（2）過點 C 作 CE⊥AB 于點 E.若 CE = 2，cos D =，求 AD 的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先連接CO，根據AB是⊙O直徑，得出∠1+∠OCB=90°，再根據AO=CO，得出∠1=∠A，最后根據∠4=∠A，證出OC⊥CD，即可得出CD為⊙O的切線；

（2）根據OC⊥CD，得出∠3+∠D=90°，再根據CE⊥AB，得出∠3+∠2=90°，從而得出cos∠2=cosD，再在△OCE中根據余弦定義得出CO的值，根據勾股定理求出OE的值，利用sinD=sin∠2，求出OD的值，即可得出AD的長．

試題解析：證明：（1）連接CO．∵AB是⊙O直徑，∴∠1+∠OCB=90°．∵AO=CO，∴∠1=∠A．∵∠4=∠A，∴∠4+∠OCB=90°．即∠OCD=90°，∴OC⊥CD．又∵OC是⊙O半徑，∴CD為⊙O的切線．

（2）∵OC⊥CD于C，∴∠3+∠D=90°．∵CE⊥AB于E，∴∠3+∠2=90°，∴∠2=∠D，∴cos∠2=cosD．在△OCE中，∠OCD=90°，∴cos∠2=．∵cosD=，CE=2，∴，∴CO=，∴⊙O的半徑為，∴OE===．∵sinD=sin∠2，

∴，∴，∴，解得：OD= ，AD=OD+OA==．