Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交的于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點（P不與C，B兩點重合），過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．

①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系式；當m為何值時，S有最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；（2）①m=2；②S=（0＜m＜3），則當m=時，S取得最大值．

【解析】

試題分析：（1）對于拋物線，令x=0，得到y=3；

令y=0，得到，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=﹣1或x=3，則A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；

（2）①設直線BC的函數解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，當x=1時，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），當x=m時，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3），令中x=1，得到y=4，∴D（1，4），當x=m時，，∴F（m，），∴線段DE=4﹣2=2，∵0＜m＜3，∴yF＞yP，∴線段PF=﹣（﹣m+3）=．連接DF，由PF∥DE，得到當PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形，由，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF，設直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，∴S=×3（），即S=（0＜m＜3），則當m=時，S取得最大值．