Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（-1，0），（3，0），現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．
（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}；
（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA，PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABDC}？若存在這樣一點，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；
（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合）給出下列結論：
①

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不變，②

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變，
其中有且只有一個是正確的，請你找出這個結論并求其值．

Answer 1

（1）依題意，得C（0，2），D（4，2），
∴S_{四邊形ABDC}=AB×OC=4×2=8；

（2）存在．
設點P到AB的距離為h，
S_△PAB=

1

2

×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，得2h=8，解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）；

（3）結論①正確，
過P點作PE∥AB交OC與E點，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1．