Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負半軸于C，頂點為D．下列結論：①2a+b=0；②2c＜3b；③當m≠1時，a+b＜am2+bm；④當△ABD是等腰直角三角形時，則a= ；⑤當△ABC是等腰三角形時，a的值有3個．其中正確的有（　　）個．

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據二次函數圖象與系數的關系，二次函數與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），可知二次函數的對稱軸為x==1，即-=1，可得2a與b的關系；將A、B兩點代入可得c、b的關系；函數開口向下，x=1時取得最小值，則m≠1，可判斷③；根據圖象AD=BD，頂點坐標，判斷④；由圖象知BC≠AC，從而可以判斷⑤．

解：①∵二次函數與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）．

∴二次函數的對稱軸為x==1，即-=1，

∴2a+b=0．

故①正確；

②∵二次函數y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）．

∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．

又∵b=-2a．

∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0．

∴3b=-6a，2c=-6a．

∴2c=3b．

故②錯誤；

③∵拋物線開口向上，對稱軸是x=1．

∴x=1時，二次函數有最小值．

∴m≠1時，a+b+c＜am2+bm+c．

即a+b＜am2+bm．

故③正確；

④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．

∴AD2+BD2=42．

解得，AD2=8．

設點D坐標為（1，y）．

則[1-（-1）]2+y2=AD2．

解得y=±2．

∵點D在x軸下方．

∴點D為（1，-2）．

∵二次函數的頂點D為（1，-2），過點A（-1，0）．

設二次函數解析式為y=a（x-1）2-2．

∴0=a（-1-1）2-2．

解得a=．

故④正確；

⑤由圖象可得，AC≠BC．

故△ABC是等腰三角形時，a的值有2個．

故⑤錯誤．

故①③④正確，②⑤錯誤．

故選：C．