Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且 = = ，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=2 ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，如圖，

∵ = ，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF，

∵CD⊥AF，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連結BC，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵ = = ，

∴∠BOC= ×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=2 ，

∴AC=2CD=4 ，

在Rt△ACB中，BC= AC= ×4 =4，

∴AB=2BC=8，

∴⊙O的半徑為4．

【解析】（1）連結OC，由 = ，根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由 = = 得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得AC=2CD=4 ，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得BC= AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半徑為4．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形三邊關系的相關知識，掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．