Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+6與x軸，y軸相交于點A，B，點C在線段OA上，將△BOC沿著BC折疊后，點O恰好落在AB邊上的點D處，若點P為平面內異于點C的一點，且滿足△ABC與△ABP全等，則點P的坐標為_____．

Answer 1

【答案】（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）

【解析】

先根據一次函數解析式求出點A、B的坐標，可求出AB的長，根據折疊性質可得BD=OB，CD=OC，利用勾股定理可求出CD的長，即可得點C坐標，△PAB與△CAB全等有三種情況①延長CD到P，使PD=CD，連接PA、PB，過D作DE⊥OA于E，可得AB為PC的垂直平分線，利用SSS可證明△ABP≌△ABC，利用面積法可求出DE的長，代入AB解析式可的點D坐標，根據D是PC中點即可求出點P坐標；②過點B作x軸平行線，過點A作BC平行線，相交于點P；可得P點縱坐標為6，根據B、C坐標可得BC解析式，由AP//BC及A點坐標可求出AP的解析式，把y=6代入即可得P點坐標；③作點（﹣5，6）關于AB的對稱點P'；PP′交AB于E，作EF⊥PB，由CD和PE是AB邊上的高可得PE=CD，利用面積法可求出EF的長，即可求出E點縱坐標，代入AB解析式即可得E得坐標，根據E點為PP′中點即可求出P′坐標，綜上即可得答案.

∵直線y＝x+6與x軸，y軸相交于點A，B，

∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=-8，

∴A（﹣8，0），B（0，6），

∴AB==10，

∵O與D關于BC對稱，

∴OB＝BD＝6，CO＝CD，

∴AD＝10﹣6＝4，AC＝8﹣CD，

在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即(8-CD)2=42+CD2，

解得：CD＝3，

∴OC=3，

∴C（﹣3，0），

①如圖，延長CD到P，是PD=CD，連接PA、PB，過D作DE⊥OA于E，

∵∠BDC=∠BOC=90°，

∴AB是PC的垂直平分線，

∴PB=BC，PA=AC，

又∵AB=AB，

∴△ABP≌△ABC，

∵CD=3，AD=4，AC=5，∠ADC=90°，

∴S△ACD=AC·DE=CD·AD，即5DE=12，

解得：DE=，

當y=時，x+6=，

解得：x=，

∴D（，），

設P點坐標為（m，n）

∵點D是PC的中點，

∴，，

解得：m=，n=,

∴P（﹣，）.

②過點B作x軸的平行線，過點A作BC的平行線，相交于點P，

∴∠PAB=∠ABC，∠PBA=∠BAC，P點縱坐標為6，

又∵AB=AB，

∴△ABP≌△ABC，

設BC解析式為y=kx+b，

∵C（-3，0），B（0，6），

∴，

解得：，

∴BC的直線解析式為y＝2x+6，

∵PA//BC，

∴設AP的解析式為y=2x+b1，

∵A（-8，0）

∴2×(-8)+b1=0，

解得：b1=16，

∴AP的直線解析式為y＝2x+16

∵點P的縱坐標為6,

∴2x+16=6，

解得：x=-5，

∴P（﹣5，6）.

③如圖，作點P（﹣5，6）關于AB的對稱點P'，PP′交AB于E，作EF⊥PB，

∵點P與點P′關于AB對稱，

∴△ABP≌△ABP′，PE=P′E，

∵△ABP≌△ABC，

∴△ABP′≌△ABC，

∵CD和PE是AB邊上的高，

∴PE=CD=3，

∴BE==4，

∴EF==，

∴點E縱坐標為6-=，

∵點E在直線AB上，

∴x+6=，

解得：x=，

∴E（，）

設P′（m，n）

∵E為PP′的中點，

∴，，

解得：m=﹣，n=，

∴P'（﹣，）.

綜上所述，滿足條件的P點有（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．

故答案為（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．