Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于點D，BE平分∠ABC交AD于點E， F是邊AB上一點，以BF為直徑的⊙O經過點E．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若BC＝4，cosC＝ ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OE；先證明OE∥BC,得出∠AEO＝∠ADB,再證明AD⊥BC，得出∠AEO＝90°，OE⊥AD,即可得出結論；
（2）先求出，再證明，得出對應邊成比例，即可求出半徑．

試題解析：（1）證明：連接OE，則OE＝OB,

∴∠1＝∠2,

∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3,

∴∠2＝∠3，∴OE∥BC,

∴∠AEO＝∠ADB,

在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC,

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°,

∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AD,

∴AD是⊙O的切線.

（2）在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC,

∴

∵

在△ABD中，∠ADB＝90°，∴

設⊙O的半徑為r，則AO＝6－r.

∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABD,

∴ 即

解得

∴⊙O的半徑為