Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，BC=3，△DEF是邊長為a（a為小于3的常數）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點D在線段AC上，DE∥AB，設△DEF與△ABC重疊部分的周長為T．

（1）求證：點E到AC的距離為一個常數；
（2）若AD= ，當a=2時，求T的值；
（3）若點D運動到AC的中點處，請用含a的代數式表示T．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得：tanA= = = ，

∴∠A=60°．

∵DE∥AB，

∴∠CDE=∠A=60°．

如答圖1所示，過點E作EH⊥AC于點H，

則EH=DEsin∠CDE=a = a．

∴點E到AC的距離為一個常數

（2）

解：若AD= ，當a=2時，如答圖2所示．

設AB與DF、EF分別交于點M、N．

∵△DEF為等邊三角形，∴∠MDE=60°，

由（1）知∠CDE=60°，

∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，

又∵∠A=60°，

∴△ADM為等邊三角形，

∴DM=AD= ．

過點M作MG∥AC，交DE于點G，則∠DMG=∠ADM=60°，

∴△DMG為等邊三角形，

∴DG=MG=DM= ．

∴GE=DE﹣DG=2﹣ = ．

∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，

又∵DE∥AB，

∴四邊形MGEN為平行四邊形．

∴NE=MG= ，MN=GE= ．

∴T=DE+DM+MN+NE=2+ + + =

（3）

解：若點D運動到AC的中點處，分情況討論如下：

①若0＜a≤ ，△DEF在△ABC內部，如答圖3所示：

∴T=3a；

②若 ＜a≤ ，點E在△ABC內部，點F在△ABC外部，在如答圖4所示：

設AB與DF、EF分別交于點M、N，過點M作MG∥AC交DE于點G．

與（2）同理，可知△ADM、△DMG均為等邊三角形，四邊形MGEN為平行四邊形．

∴DM=DG=NE=AD= ，MN=GE=DE﹣DG=a﹣ ，

∴T=DE+DM+MN+NE=a+ +（a﹣ ）+ =2a+ ；

③若 ＜a＜3，點E、F均在△ABC外部，如答圖5所示：

設AB與DF、EF分別交于點M、N，BC與DE、EF分別交于點P、Q．

在Rt△PCD中，CD= ，∠CDP=60°，∠DPC=30°，

∴PC=CDtan60°= × = ．

∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．

由（1）知，點E到AC的距離為 a，∴PQ= a﹣ ．

∴QE=PQtan30°=（ a﹣ ）× = a﹣ ，PE=2QE=a﹣ ．

由②可知，四邊形MDEN的周長為2a+ ．

∴T=四邊形MDEN的周長﹣PE﹣QE+PQ=（2a+ ）﹣（a﹣ ）﹣（ a﹣ ）+（ a﹣ ）= a+ ﹣ ．

綜上所述，若點D運動到AC的中點處，T的關系式為：

T=

【解析】（1）解直角三角形，求得點E到AC的距離等于 a，這是一個定值；（2）如答圖2所示，作輔助線，將四邊形MDEN分成一個等邊三角形和一個平行四邊形，求出其周長；（3）可能存在三種情形，需要分類討論：①若0＜a≤ ，△DEF在△ABC內部，如答圖3所示；②若 ＜a≤ ，點E在△ABC內部，點F在△ABC外部，在如答圖4所示；③若 ＜a＜3，點E、F均在△ABC外部，如答圖5所示．