Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD為斜邊AB上的中線．

（1）如圖1，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的長；

（2）將圖1中的△ADC繞點D順時針旋轉一定角度得到△ADN，如圖2，P，Q分別為線段AN，BC的中點，連接AC，BN，PQ，求證：BN=PQ；

（3）如圖3，將△ADC繞點A順時針旋轉一定角度到△AMN，其中D的對應點是M，C的對應點是N，若B，M，N三點在同一直線上，H為BN中點，連接CH，猜想BM，MN，CH之間的數量關系，請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）AC＝4+2；（2）見解析；（3）BM﹣MN=2CH，理由見解析

【解析】（1）利用角平分線定理求出FM，再利用等腰直角三角形的性質即可得出CF，最后用AC=CD即可；

（2）先判斷出DN：DP=DB：DQ=，再判斷出∠PDQ=∠NDB，進而得出，△PDQ∽△NDB即可判斷出結論；

（3）先判斷出，∠MAC=∠GBC進而得出△ACM≌△BCG，即可得出∠ACM=∠BCG，進而△MCG是直角三角形，再用直角三角形的中線得出MG=2CH，最后等量代換即可．

（1）如圖1∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD為斜邊AB上的中線．

∴CD⊥AB，∠ACD=45°

過點F作FM⊥AC，

∵AE平分∠CAB，

∴FM=FD=2

在Rt△CMF中，∠ACD=45°，

∴CF=MF=2，

∴CD=CF+FD=2+2，

∵CD是等腰直角三角形斜邊的中線，

∴AC=CD=（2+2）=4+2；

（2）如圖2，連接DP，DQ，

∵△ADC繞點D順時針旋轉一定角度得到△ADN，

∴AN=BC，DN=CD=DB，△ADN是等腰直角三角形，

∵△BCD是等腰直角三角形，點Q是BC中點，

∴DQ=BC=×BD=DN，

∵點P是AN中點，

∴DP=AN=BC=DQ，

∴=，

∵∠NDP=∠CDQ=45°，

∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90°+∠CDN，

∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90°+∠CDN，

∴∠PDQ=∠NDB，

∵=，

∴△PDQ∽△NDB，

∴=，

∴BN=PQ．

（3）BM﹣MN=2CH．

理由：如圖3，在BN上截取BG=BD，連接CG，CM，

∵△ADC繞點A順時針旋轉一定角度到△AMN，

∴MN=AM=AD=CD=DB，

∴MN=AM=BG，

根據三角形的內角和，得∠MAC=∠GBC，

在△ACM和△BCG中，，

∴△ACM≌△BCG，

∴∠ACM=∠BCG，

∴∠MCG=∠ACM+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，

∴△MCG是直角三角形，

∵H為BN中點，

∴BH=NH，

∵BG=MN，

∴HG=HM，

在Rt△MCG中，HG=HM，

∴MG=2CH，

∴BM=BG+MG=MN+2CH，

∴BM﹣MN=2CH．