Question

如圖甲，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸點A、B，⊙O的半徑為個單位長度．點P為直線上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD ，切點分別為C、D，且PC⊥PD.

（1）寫出點A、B的坐標：A (         )，B (          )；
（2）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（3）求點P的坐標；
（4）如圖乙 ，若直線將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1∶3，請直接寫出b的值：b=   ．

Answer 1

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）正方形；（3）（1，3）或（3，1）；（4）或－

試題分析：（1）分別求得直線與x軸、y軸的交點坐標即可得到結果；
（2）連接OC、OD，根據切線的性質可得∠PCO=∠PDO=90°，再有PC⊥PD可得四邊形OCPD為矩形，再結合OC=OD即可證得結論；
（3）根據P在直線y＝－x＋4上，可設P（m，－m＋4），根據勾股定理即可求得結果；
（4）分兩種情形，直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶3，可知被割得的弦所對的圓心角為90，又直線與坐標軸的夾角為45，即可求得結果．
（1）在中，當x=0時，y=4，當y=0時，x=4
則A（4，0），B（0，4）；
（2）連接OC、OD

∵PC、PD為⊙O的切線
∴∠PCO=∠PDO=90°
∵PC⊥PD
∴四邊形OCPD為矩形
∵OC=OD
∴四邊形OCPD是正方形；
（3）∵P在直線y＝－x＋4上，
∴設P（m，－m＋4），則OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°，
∴OF²＋PF²＝PO²，
∴ m²＋ (－m＋4)²＝（）²，
解得m=1或3，
∴P的坐標為（1，3）或（3，1）

（4）分兩種情形，直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶3，可知被割得的弦所對的圓心角為90，又直線與坐標軸的夾角為45，如圖可知，分兩種情況，所以，b的值為或－．

點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，需要學生熟練掌握一次函數的性質的應用.