Question

【題目】如圖①，拋物線y＝x2﹣x﹣3交軸于A、B兩點，交y軸于點C，點D為點C關于拋物線對稱軸的對稱點．

（1）若點P是拋物線上位于直線AD下方的一個動點，在y軸上有一動點E，x軸上有一動點F，當△PAD的面積最大時，一動點G從點P出發以每秒1個單位的速度沿P→E→F的路徑運動到點F，再沿線段FB以每秒2個單位的速度運動到B點后停止，當點F的坐標是多少時，動點G的運動過程中所用的時間最少？

（2）如圖②，在（1）問的條件下，將拋物線沿直線PB進行平移，點P、B平移后的對應點分別記為點P'、B'，請問在y軸上是否存在一動點Q，使得△P'QB'為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點為F（，0）時，t最小；（2）存在，點Q的坐標為：（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）

【解析】

（1）由題可求出點A、B、C、D，的坐標，點A、D的坐標代入一次函數表達式可得：直線AD的表達式，過點作y軸的平行線交AD于點S，設點P（x，x2﹣x﹣3），點S（x，﹣x﹣），可得S△PAD＝SP×（xD﹣xA）＝2（﹣x﹣﹣x2+x+3），由此可得點P的坐標，作點P關于y軸的對稱點P′，過點B作與x軸負方向夾角為30°的直線BH，過點P′作PH⊥BH交于點H，P′H于y軸、x軸分別交于點E、F，則此時t最小，然后求出直線BH的表達式和直線P′H的表達式聯立求解，從而可得答案；

（2）先求出直線PB的表達式，設：點P′、B′的坐標分別為：（m，m﹣6），（m+3，m﹣），分：①當∠B′QP′為直角時，②當∠QB′P′為直角時，③當∠QP′B′為直角時，三種情況討論即可．

（1）y＝x2﹣x﹣3，令y＝0，則x＝4或﹣，

故點A、B的坐標分別為（﹣，0）、（4，0），

點C（0，﹣3）、點D（3，﹣3），

將點A、D的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：

直線AD的表達式為：y＝﹣x﹣，

過點作y軸的平行線交AD于點S，

設點P（x，x2﹣x﹣3），點S（x，﹣x﹣）

S△PAD＝SP×（xD﹣xA）＝2（﹣x﹣﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+，

∵﹣＜0，

∴S△PAD有最大值，當x＝﹣＝時，函數取得最大值，

此時點P（，﹣）；

作點P關于y軸的對稱點P′（﹣，﹣），

過點B作與x軸負方向夾角為30°的直線BH，

過點P′作PH⊥BH交于點H，P′H于y軸、x軸分別交于點E、F，則此時t最小，

∵直線BH與x軸負方向夾角為30°，則FH＝BF，

t＝PE+EF+FB＝P′E+EF+FH＝P′H，

設：直線BH的表達式為：y＝﹣x+s，

將點B的坐標代入上式并解得：

直線BH的表達式為：y＝﹣x+4…①，

同理可得直線P′H的表達式為：y＝x+3﹣…②，

則點F（﹣，0），

則直線P′H的傾斜角為60°，

聯立①②并解得：x＝，y＝，

即點H（，）

t＝P′H＝2（xH﹣xP′）＝；

故點為F（，0）時，t最小（）；

（2）存在，理由：

同理可得直線PB的表達式為：y＝x﹣6，

則tan∠GB′P′＝＝tanα，則cosα＝，sinα＝，

P′B′＝PB＝，則點B′在點P′右側的距離為：PBcos∠α＝3，

同理點B′在點P′上方的距離為：，

則設：點P′、B′的坐標分別為：（m，m﹣6），（m+3，m﹣），

①當∠B′QP′為直角時，如圖（左側圖），

過點B′作B′G⊥y軸于點G，

∵∠B′QG+∠P′OH＝90°，∠B′QG+∠GB′Q＝90°，∴∠GB′Q＝∠P′OH，

∠B′GQ＝∠QHP′＝90°，QP′＝QB′，

∴△B′GQ≌△QHP′（AAS），則B′G＝OH，GQ＝P′H，

即：m﹣﹣n＝m，m+3＝n﹣m+6，

解得：m＝，n＝﹣；

同理當直線向下平移時：n＝﹣；

②當∠QB′P′為直角時，

同理可得：m+3﹣m＝n﹣m+，m﹣﹣m+6＝m+3，

解得：m＝，n＝，

同理當直線向下平移時：n＝﹣；

③當∠QP′B′為直角時，

經驗證同②重復，解得n=；

綜上，點Q的坐標為：（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）．