Question

【題目】定義：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心；
性質：內心到三角形三邊的距離相等.
如圖1，點 為 的內心， 于 ， 于E， 于 ，則有 .
問題：如何求 的值呢？
探究：

（1）小明思路：設△ABC的面積為 ， 的面積為 ， 的面積為 ， 的面積為 ，利用 可求 .
①圖1中， ， ， ， ，請你根據小明的思路求出 的值；
②如圖2，△ABC中， ，設 ， ， ， 為 △ABC的內心， 于 ， 于E， 于 .若設 ，請用含 ， ， 的式子表示 ；
（2）小亮思路：“凡角平分處，必有軸對稱”. 如圖2，易得： ， ， . 請你根據小亮的思路，用含 ， ， 的式子表示 ；
（3）①根據上述所列兩式，求證： ；
②應用：已知一個直角三角形的兩直角邊長分別為 和 ，求該三角形的內心到任意一邊的距離 .

Answer 1

【答案】
（1）解：①由 得，
即 ，
，
②
（2）
（3）

①證明：由 得，

，

，

，則

②解：由 ， 得， ，

則 ，或

【解析】此題考查三角形的內切圓與內心，利用內角平分線的性質，結合三角形的面積和差，推導出d的表達式.
【考點精析】關于本題考查的三角形的內切圓與內心，需要了解三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心才能得出正確答案．