Question

【題目】將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2 ，P是AC上的一個動點．

（1）當點P運動到∠ABC的平分線上時，連接DP、BP，求CP、DP的長；
（2）當點P在運動過程中出現PD＝BC時，求此時∠PDA的度數；
（3）當點P運動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時平行四邊形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．

（1）如圖（1），作DF⊥AC，

∵Rt△ACD中，AD＝CD，

∴DF＝AF＝CF＝．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝30°，

∴CP＝1，PF＝，

∴DP==．

（2）

解：當P點位置如圖（2）所示時，

根據（1）中結論，DF＝,∠ADF＝45°，又PD＝BC=，

∴＝，

∴∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．

當P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．

（3）

解：∵BC⊥AC

∴只有當DP⊥AC時，以D，P，B，Q為頂點的四邊形為平行四邊形.

如圖，在DPBQ中，BC∥DP，

∵∠ACB＝90°，

∴DP⊥AC．

根據（1）中結論可知，DP＝CP＝，

∴SDPBQ＝DP·CP＝．

【解析】（1）含30度角的直角三角形中，三邊的比是1：:2，依此可求得CP；構造直角三角形PDF，先求出PF和DE，即可求得PD；
（2）分類討論：P在DF左邊和P在DF右邊；
（3）只能是DP//BC，且DP=BC，則DP⊥AC，CP是平行線DP與BC之間的距離，則SDPBQ＝DP·CP.