Question

【題目】如圖①，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，我們把形如圖①的圖形稱之為“8字形”．

（1）如圖①，若∠A=∠D,判斷∠C與∠B的數量關系，并說明理由；

（2）如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，試解答下列問題：

①仔細觀察，在圖②中有 個“8字形”；

②∠B=80°，∠C=100°，求∠P的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠C=∠B（2）①6②90

【解析】

（1）利用三角形的內角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據對頂角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；

（2）①根據“8字形”的結構特點，根據交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

②根據三角形的內角和定理求出∠ODB∠OAC，再根據角平分線的定義求出∠CAM＋∠C∠PDM，然后利用“8字形”的關系式列式整理即可得解；

解：（1）在△AOC中，∠AOC＝180°∠A∠C，

在△BOD中，∠BOD＝180°∠B∠D，

∵∠AOC＝∠BOD（對頂角相等），

∴180°∠A∠C＝180°∠B∠D，

∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C；

∵∠A=∠D,

∴∠C=∠B.

故答案為：∠C=∠B.

（2）①交點有點M、O、N，

以M為交點有1個，為△AMC與△DMP，

以O為交點有4個，為△AOC與△DOB，△AOM與△DON，△AOM與△DOB，△DON與△AOC，

以N為交點有1個，為△ANP與△DNB，

所以，“8字形”圖形共有6個；

∵∠C＝100°，∠B＝80°，

∴∠OAC＋100°＝∠ODB＋80°，

∴∠ODB∠OAC＝20°，

∵AP、DP分別是∠CAB和∠BDC的角平分線，

∴∠CAM＝∠OAC，∠PDM＝∠ODB，

又∵∠CAM＋∠C＝∠PDM＋∠P，

∴∠P＝∠CAM＋∠C∠PDM＝（∠OAC∠ODB）＋∠C＝×（20°）＋100°＝90°；