Question

如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為。
（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），點C（0，4），
∴，解得。
∴直線AC的解析式為。
∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，
∴M點的坐標為（m，）。
研三理-孟奕含(713000529);∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線上，
∴點P的坐標為（m，）。
∴PM=PE－ME=（）－（）=。
∴PM=（0＜m＜3）。
（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似。理由如下：
由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：
①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=。
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF。
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°。
∴△PCM為直角三角形。
②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1。
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。
∴△PCM為等腰三角形。
綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形。

（1）將A（3，0），C（0，4）代入，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式。
（2）先根據A、C的坐標，用待定系數法求出直線AC的解析式，從而根據拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長。
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E對應，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據相似三角形的性質，直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀。