Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）
∴將A與B兩點坐標代入得：，解得：。
∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x。
（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，由點B（4，4），得：4=4k₁，解得：k₁=1。
∴直線OB的解析式為y=x。
∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m。
∵點D在拋物線y=x²﹣3x上，∴可設D（x，x²﹣3x）。
又∵點D在直線y=x﹣m上，∴x²﹣3x=x﹣m，即x²﹣4x+m=0。
∵拋物線與直線只有一個公共點，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4。
此時x₁=x₂=2，y=x²﹣3x=﹣2。
∴D點的坐標為（2，﹣2）。
（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，3）。
根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，
設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，過點（4，4），∴4k₂+3=4，解得：k₂=。
∴直線A′B的解析式是y=。
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即點N在直線A′B上。
∴設點N（n，），
又∵點N在拋物線y=x²﹣3x上，∴=n²﹣3n，解得：n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。
∴N點的坐標為（）。
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則N₁（），B₁（4，﹣4）。
∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上。
由勾股定理，得OD=，OB₁=，
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁。
∴。
∴點P₁的坐標為（）。
將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（）。
綜上所述，點P的坐標是（）或（）。

（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可。
（2）根據已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m．由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標。
（3）綜合利用幾何變換和相似關系求解：進行翻折變換，將△NOB沿x軸翻折，注意求出P點坐標之后，該點關于直線y=﹣x的對稱點也滿足題意，即滿足題意的P點有兩個。還可以進行旋轉變換，將△NOB繞原點順時針旋轉90°求解。