Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A＞∠B.

（1）利用尺規作圖在BC邊上找一點P，使得點P到AB的距離等于PC的長度（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，如果點P恰好又在線段AB的垂直平分線上,求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）30°.

【解析】試題分析:(1)因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等,所以要在BC上找一點P,使得點P到AB的距離等于PC的長度,則作角∠BAC的角平分線,角平分線與BC的交點即所求點P,(2)利用垂直平分線的性質可得:PA=PB,所以∠B=∠PAB,又因為(1)中AP是∠BAC的角平分線,所以∠B=∠PAB=∠BAC,因為∠BAC+∠B=90°,所以3∠B=90°,即∠B=30°.

試題解析:(1)如圖所示,

(2) 因為(1)中AP是∠BAC的角平分線,

所以∠PAB=∠BAC,即∠BAC=2∠PAB,

又因為點P在線段AB的垂直平分線上,

所以PA=PB,

所以∠B=∠PAB,即∠BAC=2∠B,

又因為∠BAC+∠B=90°,

所以3∠B=90°,即∠B=30°.

點睛:本題主要考查角平分線的性質和垂直平分線的性質,解決本題的關鍵是能夠熟練利用角平分線的性質和垂直平分線的性質.