Question

【題目】(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形(請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數)．

(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的內角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求∠ABC與∠C之間的關系．

Answer 1

【答案】(1)圖形見解析(2) ∠ABC與∠C之間的關系是∠ABC＝135°－∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意銳角．

【解析】試題分析：（1）已知角度，要分割成兩個等腰三角形，可以運用直角三角形、等腰三角形性質結合三角形內角和定理，先計算出可能的角度，或者先從草圖中確認可能的情況，及角度，然后畫上．
（2）在（1）的基礎上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關系．

試題解析：(1)如圖①②(共有2種不同的分割法)．

(2)設∠ABC＝y，∠C＝x，過點B的直線交邊AC于點D.

在△DBC中，

①若∠C是頂角，如圖，則∠CBD＝∠CDB＝90°－x，∠A＝180°－x－y.

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋x＞90°，此時只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－∠C.

②若∠C是底角，

第一種情況：如圖，當DB＝DC時，∠DBC＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.

若AB＝AD，則2x＝y－x，此時有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C.

若AB＝BD，則180°－x－y＝2x，此時有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.

若AD＝BD，則180°－x－y＝y－x，此時有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C為小于45°的任意銳角．

第二種情況：如圖，

當BD＝BC時，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此時只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝∠BDC＝∠C＜∠C，這與題設∠C是最小角矛盾．

∴當∠C是底角時，BD＝BC不成立．

綜上所述，∠ABC與∠C之間的關系是∠ABC＝135°－∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意銳角．