Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F．

（1）求證：四邊形BEDF為平行四邊形；

（2）當∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，當AE=3時，求四邊形BEDF的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)18.

【解析】

(1)由BE、DF均為角平分線可得∠EBD=∠FDB，則BE∥DF，再由題意可知BF∥DE，故利用兩組對邊分別平行可證明；

(2)菱形的四邊相等，則∠ABE=∠EBD=∠EDB，又由∠ABD+∠EDB=90可求解出∠ABE的度數；

(3)分別求解出AB和ED的長度，利用菱形面積公式計算即可.

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB∥CD，BC∥AD，∠A=90°=∠ABC

∵AB∥CD

∴∠ABD=∠BDC

∵BE，DF分別平分∠ABD，∠BDC

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠BDC

∴∠EBD=∠FDB

∴BE∥DF且AD∥BC

∴四邊形BEDF為平行四邊形

（2）若四邊形BEDF是菱形

∴∠CBD=∠DBE，且∠DBE=∠ABE

∴∠CBD=∠DBE=∠ABE

∵∠CBD+∠DBE+∠ABE=90°

∴∠ABE=30°

∴當∠ABE=30°時，四邊形BEDF是菱形

（3）∵∠A=90°，∠ABE=30°，AE=3

∴BE=6，AB=AE=3

∵四邊形BEDF是菱形

∴BE=DE=6

∴四邊形BEDF的面積=DE×AB=18