Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AF平分∠BAC，交BD于點F．

（1）求證： ；
（2）點A1、點C1分別同時從A、C兩點出發，以相同的速度運動相同的時間后同時停止，如圖，A1F1平分∠BA1C1 ， 交BD于點F1 ， 過點F1作F1E⊥A1C1 ， 垂足為E，請猜想EF1 ， AB與 三者之間的數量關系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當A1E1＝6，C1E1＝4時，求BD的長

Answer 1

【答案】
（1）解：過F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝ AC＋OF，
∴AB－OF＝ AC
（2）解：過F1作F1G1⊥A1B，過F1作F1H1⊥BC1 ，

則四邊形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四邊形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1 ，
即：F1是三角形A1BC1的內心，
∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①
∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1 ， 而CC1＝A1A，
∴A1B＋BC1＝2AB，
因此①式可寫成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，
即AB－EF1＝ A1C1
（3）解：由（2）得，F1是三角形A1BC1的內心，且E1、G1、H1都是切點．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果設CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根據勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12 ，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7 ．
【解析】（1）過F作FG⊥AB于G，根據已知條件可證△AOF≌△AGF，結合直角三角形的性質可求解；（2）過F1作F1G1⊥A1B，過F1作F1H1⊥BC1 ， 根據已知條件可得四邊形F1G1BH1是矩形，再證四邊形F1G1BH1是正方形，則結論可證；（3）在直角三角形A1BC1中，根據勾股定理可求解。