Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點Q在AB上，且AQ=2，過Q做QR⊥AB，垂足為Q，QR交折線AC﹣CB于R（如圖1），當點Q以每秒2個單位向終點B移動時，點P同時從A出發，以每秒6個單位的速度沿AB﹣BC﹣CA移動，設移動時間為t秒（如圖2）．

（1）求△BCQ的面積S與t的函數關系式．

（2）t為何值時，QP∥AC？

（3）t為何值時，直線QR經過點P？

（4）當點P在AB上運動時，以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內部，求此時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S△BCQ=﹣t+（0≤t≤8）；（2）時，QP∥AC；

（3）當t=0.5s或2.5s時直線QR經過點P；

（4）且t≠0.5時正方形PQMN在Rt△ABC內部．

【解析】

試題分析：（1）過C作CD垂直于AB于D點，由AB及AQ的長，利用AB﹣AQ表示出QB的長，直角三角形ABC的面積有兩種求法，兩直角邊乘積的一半，或斜邊乘以斜邊上的高的一半，兩種求法表示的面積相等可得出CD的長，三角形BQC以QB為底邊，CD為高，利用三角形的面積公式即可求出；

（2）當PQ∥AC時，利用兩直線平行得到兩對同位角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，將各自的值代入列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值；

（3）分三種情況討論即可：①當Q、P均在AB上時，可得出AP=6t，AQ=2+2t，令AP=AQ列出關于t的方程，求出方程的解得到此時t的值；②當P在BC上時，如圖所示，由一對直角相等及一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形BPQ與三角形ABC相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關于t的方程，求出方程的解得到此時t的值；③當P在AC上不存在QR經過點P，綜上，得到所有滿足題意的t的值；

（4）抓住兩種臨界情況：當點P在點Q的左側時，若點N落在AC上，則PQ=2+2t﹣6t=2﹣4t，由△APN∽△ACB得，求出此時的t值；當點P在點Q的右側時，若點N落在BC上，則由△BPN∽△BCA得，進而求出此時的t值，綜上兩種情況，可得出以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內部時t的取值范圍．

試題解析：（1）過C作CD⊥AB于D點，如圖所示：

∵AB=10，AQ=2+2t，

∴QB=AB﹣AQ=10﹣（2+2t）=8﹣2t，

在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，

根據勾股定理得：BC=6，

∵AC×BCAB×CD，即×6×8=×10×CD，

∴CD=，

則S△BCQ=QBCD=（8﹣2t）=﹣t+（0≤t≤8）；

（2）當PQ∥AC時，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，

∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8﹣2t，BP=6t﹣10，

∴，即，

整理得：6（8﹣2t）=10（6t﹣10），

解得：，

則時，QP∥AC；

（3）①當Q、P均在AB上時，AP=6t，AQ=2+2t，

可得：AP=AQ，即6t=2+2t，

解得：t=0.5s；

②當P在BC上時，P與R重合，如圖所示：

∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，又BP=6t﹣10，AB=10，BQ=8﹣2t，BC=6，

∴，即6（6t﹣10）=10（8﹣2t），

解得：t=2.5s；

③當P在AC上不存在QR經過點P，

綜上，當t=0.5s或2.5s時直線QR經過點P；

（4）當點P在點Q的左側時，若點N落在AC上，如圖所示：

∵AP=6t，AQ=2+2t，

∴PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=PQ=2﹣4t，

∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴△APN∽△ACB，

∴，即，

解得：，

當點P在點Q的右側時，若點N落在BC上，如圖所示：

由題意得：BP=10﹣6t，PN=PQ=4t﹣2，

∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，

∴△BPN∽△BCA，

∴，即，

整理得：8（10﹣6t）=6（4t﹣2），

解得：，

∵t=0.5時點P與點Q重合，

∴且t≠0.5時正方形PQMN在Rt△ABC內部．