Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA=PE．

（1）求證：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EPC=90°

（3）∠ABC+∠EPC=180°，

理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°

【解析】（1）根據正方形的性質，四邊相等，四個角為90°，且對角線平分對角，即可證出△ABP≌△CBP（SAS），得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE
（２）利用全等的性質，由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP,由PA＝PE，∠PAE=∠PEA，最后通過同角的補角的關系得到∠ABC+∠EPC=180°，以及四邊形的內角和為360°，∠CPF=∠EDF=90°最后得出結論
（3）此題為一二題的變式題，借助(1)和(2)證明方法第三題易證，且菱形和正方形除了每個角不是直角以為，其他的性質都是共性，即可證出△ABP≌△CBP（SAS），得到∠BAP=∠BCP，然后根據等腰三角形的等邊對等角得∠DAP=∠DCP，最后再通過同角的補角關系和四邊形的內角和為360°即可得出結論。
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質和正方形的性質，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．