Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，點D是AC上一點，且BC=BD=2，將Rt△ABC繞點C旋轉到Rt△FEC的位置，并使點E在射線BD上，連接AF交射線BD于點G，則AG的長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：作BH⊥CD于H，如圖，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC= = ，

∴AC=3BC=6，

∵BC=BD=2，

∴CH=DH，

∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠HBC=∠BAC，

∴sin∠HBC= ，

在Rt△HBC中，∵sin∠HBC= = ，

∴HC= BC= ，

∴CD=2CH= ，

∴AD=AC﹣CD=6﹣ = ，

∵Rt△ABC繞點C旋轉到Rt△FEC的位置，

∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，

∴∠CBE= （180°﹣∠BCE），∠CAF= （180°﹣∠ACF），

∴∠CBE=∠CAF，

∵∠BDC=∠ADG，

∴∠AGD=∠BCD，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠BDC，

∴∠ADG=∠AGD，

∴AG=AD= ．

所以答案是 ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余角和補角的特征的相關知識，掌握互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．