Question

【題目】解決問題時需要思考：是否解決過與其類似的問題．小明從問題1解題思路中獲得啟發從而解決了問題2．
（1）問題1：如圖①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上兩點，∠EAF=45°．
求證：∠AEF=∠AEB．
小明給出的思路為：延長EB到H，滿足BH=DF，連接AH．請完善小明的證明過程．
（2）問題2：如圖②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為AB中點，E、F是AC、BC邊上兩點，∠EDF=45°．

①求點D到EF的距離．
②若AE=a，則S△DEF=（用含字母a的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖①中，延長EB到H，滿足BH=DF，連接AH

∵AB=AD，∠ABH=∠D=90°，BH=DF，

∴△ADF≌ABH，

∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，

∵∠DAF+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°，

∴∠EAH=∠EAF，

又∵AF=AH，AE=AE，

∴△AHE≌△AFE，

∴∠AEF=∠AEB．

（2）①解：過點D分別向AC、BC、EF作垂線，垂足分別為G、H、M，
∵∠ACB=90°，∴CGDH為矩形，∵AC=BC=4，D為AB中點，
∴DG=DH= BC=2，
∴四邊形CGDH為正方形，
由問題1知∠DEG=∠DEM，
∴DM=DG=2．
②
【解析】（2）②解：在Rt△DEG中，DE= = = ， ∵S△AED= AEDG=a，
∵△DEF∽△AED，
∴ =（ ）2= ，
∴S△DEF= ．
故答案為 ．
問題1：如圖①中，延長EB到H，滿足BH=DF，連接AH，只要證明△AHE≌△AFE，即可推出∠AEF=∠AEB；問題2：（1）如圖②中，過點D分別向AC、BC、EF作垂線，垂足分別為G、H、M，利用（1）中即可，根據角平分線的性質定理即可解決問題，（2）在Rt△DEG中，DE= = = ，由S△AED= AEDG=a，△DEF∽△AED，推出 =（ ）2= ，由此即可解決問題；