Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿折線AC-CB運動，到點B停止．當點P不與△ABC的頂點重合時，過點P作其所在直角邊的垂線交AB 于點Q，再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR，且點R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側，設△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．點P的運動時間為t（秒）．

（1）求點P在AC邊上時PQ的長，（用含t的代數式表示）；

（2）求點R到AC、PQ所在直線的距離相等時t的取值范圍；

（3）當點P在AC邊上運動時，求S與t之間的函數關系式；

（4）直接寫出點R落在△ABC高線上時t的值．

Answer 1

【答案】(1) 3t；(2) 0＜t＜1或t=；(3)s=-28t2+44t-16；(4)

【解析】

試題分析：（1）只需利用三角函數就可解決問題；

（2）可分點P在AC邊上（圖①）和點P在BC邊上（圖②）兩種情況討論：當點P在AC邊上時，易得點R到AC、PQ所在直線的距離始終相等，從而可得0＜t＜1；當點P在BC邊上時，易得PC=PQ，由此建立關于t的方程，就可解決問題；

（3）可分△PQR全部在△ABC內和△PQR部分在△ABC內兩種情況討論：當△PQR全部在△ABC內時，只需運用三角形的面積公式就可解決問題；當△PQR部分在△ABC內時，只需運用割補法就可解決問題；

（4）可分以下幾種情況討論：點R在AB的高CH上（如圖④和圖⑦）、點R在AC的高BC上（如圖⑤）、點R在BC的高AC上（如圖⑥），其中圖④和圖⑦可通過構造K型全等，并利用相似三角形的性質來解決問題，圖5和圖6可通過PQ=2PC來解決問題．

試題解析：（1）如圖①，

由題意可知AP=4t，

tanA=，

∴PQ=3t；

（2）①當點P在AC邊上時，如圖①．

∵∠RPQ=45°，∠CPQ=90°，

∴∠CPR=45°=∠RPQ，

∴點R到直線AC、PQ距離相等，

此時0＜t＜1．

②當點P在BC邊上時，過點R作RH⊥PQ于點H，如圖②，

則有PC=4t-4，PB=7-4t，

∵tanB=，

∴PQ=PB=（7-4t）．

由題可得：RH=PC．

∵RH=PQ，

∴PC=PQ，

∴4t-4=（7-4t），

解得：t=．

綜上所述：0＜t＜1或t=；

（3）①當0＜t≤時，如圖①．

過點R作RH⊥PQ于點H，

S=PQRH=×3t×=t2．

②當＜t＜1時，如圖③．

過點R作RH⊥PQ于點H，交BC于點G，

則有RG⊥MN，RH=PQ=t，GH=PC=4-4t，

∴S=S△RPQ-S△RMN=PQRH-MNRH

=RH2-RG2=（t）2-[t-（4-4t）]2

=-28t2+44t-16；

（4）點R落在△ABC高線上時，t的值為，，，.

可分以下幾種情況討論：如圖④～⑦

①點P在AC上，且點R在AB的高CH上，如圖④，

過點P作PG⊥CH于G，

易證△PGR≌△RHQ，則有PG=RH，GR=QH．

易求得AB=5，CH=，AH=，BH=．

PC=4-4t，CG=PC=（4-4t），PG=PC=（4-4t），

AQ=AP=5t，QH=AH-AQ=-5t．

根據CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=，得

（4-4t）+-5t+（4-4t）=，

解得：t=．

②點P在AC上，且點R在AC的高BC上，如圖⑤

過點R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ=AP=3t，PC=4-4t，

∴3t=2（4-4t），

解得：t=．

③點P在BC上，且點R在BC的高AC上，如圖⑥，

過點R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ=PB=（7-4t），PC=4t-4，

∴（7-4t）=2（4t-4），

解得：t=．

④點P在BC上，且點R在AB的高CH上，如圖⑦，

過點P作PG⊥CH于G，

易證△PGR≌△RHQ，則有PG=RH，GR=QH．

易證△CGP∽△CHB，

∴．

∵BC=3，CH=，BH=，CP=4t-4，

∴CG=PC=（4t-4），PG=PC=（4t-4），

同理可得QB=PB=（7-4t），QH=QB-BH=（7-4t）-．

根據CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH=，得

（4t-4）+（4t-4）-[（7-4t）-]=，

解得：t=．