Question

【題目】如圖，△AOB中，A（－8，0），B（0， ），AC平分∠OAB，交y軸于點C，點P是x軸上一點，⊙P經過點A、C，與x軸于點D，過點C作CE⊥AB，垂足為E，EC的延長線交x軸于點F，

（1）⊙P的半徑為　　　　；

（2）求證：EF為⊙P的切線；

（3）若點H是上一動點，連接OH、FH，當點H在上運動時，試探究是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）是定值，

【解析】試題分析:(1)根據勾股定理求得AB=，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得到AE=AO=8，BE=,在△BEC中，根據勾股定理求得CO=CE=4，再依據△AOC∽△COD求得OD=2，進而求得半徑為5；（2）依據角平分線證得PC//AE，得到CP⊥EF；（3）根據△POH∽△PHF求得.

試題解析:

（1）5

（2）證明：連接CP，

∵AP=CP

∴∠PAC=∠PCA

∵AC平分∠OAB

∴∠PAC=∠EAC

∴∠PCA=∠EAC

∴PC//AE

∵CE⊥AB

∴CP⊥EF即EF是⊙P的切線

（3）是定值，

連接PH,

由（1）得AP=PC=PH=5，∵A(-8，0) ∴OA=8 ∴OP=OA-AP=3

在Rt△POC中，

由射影定理可得，∴OF=, ∴PF=PO+OF=

∵, ∴又∵∠HPO=∠FPH

∴△POH∽△PHF

∴,

當H與D重合時， .