Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于對角線AC，垂足是E，連接BE．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若點E是AC的中點，判斷BE與AC的位置關系，并說明理由；

（3）若△ABE是等邊三角形，AD=，求對角線AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE⊥AC；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根據平行線的判定得出AD∥BC，根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）求出AD=DC，根據菱形的判定得出四邊形ABCD是菱形，根據等腰三角形的性質得出即可；

（3）根據等邊三角形的性質得出AB=AE，∠BAC=60°，求出∠DCE=∠BAE=60°，求出CD=2EC，設CE=x，則AB=DC=AE=2x，根據勾股定理得出方程，求出x，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）解：BE⊥AC，理由是：∵DE⊥AC，E為AC的中點，∴AD=DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵E為AC的中點，∴BE⊥AC；

（3）解：∵△ABE是等邊三角形，∴AB=AE，∠BAC=60°，∵AB∥DC，∴∠DCE=∠BAE=60°，∵∠DEC=90°，∴∠CDE=30°，∴CD=2EC，設CE=x，則AB=DC=AE=2x，由勾股定理得：DE2=AD2﹣AE2=DC2﹣CE2，即，解得：x=（負數舍去），即CE=，AE=，∴AC=．