Question

【題目】閱讀材料，解決問題

材料一：《孟子》中記載有一尺之棰，日取其半，萬世不竭，其中蘊含了“有限”與“無限”的關系.如果我們要計算到第n天時，累積取走了多長的木棒？可以用下面兩種方法去解決：

方法一：第n天，留下了尺木棒，那么累積取走了尺木棒.

方法二：第1天取走了尺木棒，第2天取走了尺木棒，……第n天取走了尺木棒，那么累積取走了：尺木棒.

設：……①

由①×得：……②

①－②得： 則：

材料二：關于數學家高斯的故事，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=？據說當其他同學忙于把100個數逐項相加時，十歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確的答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

也可以這樣理解：令S=1+2+3+4+…+100 ①，則S=100+99+98+…+3+2+1②

①+②得：2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）=100×（1+100）

即

請用你學到的方法解決以下問題：

（1）計算：；

（2）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層的2倍，問塔的頂層共有多少盞燈？

（3）某中學“數學社團”開發了一款應用軟件，推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動，某一周，這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知一列數1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，……其中第1項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，以此類推，求滿足如下條件的正整數N：，且這一列數前N項和為2的正整數冪，請求出所有滿足條件的軟件激活碼正整數N的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）塔的頂層共有3盞燈；（3）18或95

【解析】

（1）根據材料的方法可設S=1+3+9+27+…+3n．則3S=3（1+3+9+27+…+3n），利用即可解答．

（2）設塔的頂層由x盞燈，根據一座7層塔共掛了381盞燈，可列方程．根據材料的結論即可解答．

（3）由題意求得數列的分n+1組，及前n組和S=2n+1-2-n，及項數為，由題意可知：2n+1為2的整數冪．只需最后一組將-2-n消去即可，求出n值即可求得N的值

解：（1）設S=1+3+9+27+…+3n，則3S=3（1+3+9+27+…+3n）=3+9+27+…+3n+3n+1，
∴3S-S=（3+9+27+…+3n+3n+1）-（1+3+9+27+…+3n），
∴2S=3n+1-1，

（2）設塔的頂層由x盞燈，依題意得：
x+21x+22x+23x+24x+25x+26x=381
解得：x=3，
答：塔的頂層共有3盞燈．

（3）由題意這列數分n+1組：前n組含有的項數分別為：1，2，3，…，n，最后一組x項，根據材料可知每組和公式，求得前n組每組的和分別為：21-1，22-1，23-1，…，2n-1，
總前n組共有項數為N=1+2+3+…+n=

前n所有項數的和為Sn=21-1+22-1+23-1+…+2n-1=（21+22+23+…+2n）-n=2n+1-2-n，
由題意可知：2n+1為2的整數冪．只需最后一組x項將-2-n消去即可，
則①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，總項數為，不滿足10＜N＜100，

②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，總項數為，滿足10＜N＜100，

③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，總項數為，滿足10＜N＜100，

④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，總項數為，不滿足10＜N＜100，
∴所有滿足條件的軟件激活碼正整數N的值為：18或95。