Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系可中，直線y＝x+1與y＝﹣x+3交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點．

(1)求點A，B，C的坐標；

(2)在直線AB上是否存在點E使得四邊形EODA為平行四邊形？存在的話直接寫出的值，不存在請說明理由；

(3)當△CBD為等腰三角形時直接寫出D坐標．

Answer 1

【答案】(1)A(，)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，=；(3)點D的坐標為(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．

【解析】

(1)將y＝x+1與y＝﹣x+3聯立求得方程組的解可得到點A的坐標，然后將y＝0代入函數解析式求得對應的x的值可得到點B、C的橫坐標；

(2)當OE∥AD時，存在四邊形EODA為平行四邊形，然后依據平行線分線段成比例定理可得到=；

(3)當DB＝DC時，點D在BC的垂直平分線上可先求得點D的橫坐標；即AC與y軸的交點為F，可求得CF＝BC＝F，當點D與點F重合或點D與點F關于點C對稱時，三角形BCD為等腰三角形，當BD＝BC時，設點D的坐標為(x，﹣x+3)，依據兩點間的距離公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，從而可求得點D的橫坐標．

(1)將y＝x+1與y＝﹣x+3聯立得：，

解得：x＝，y＝，

∴A(，)．

把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，

∴B(﹣1，0)．

把y＝0代入y＝﹣x+3得：﹣ x+3＝0，解得：x＝4，

∴C(4，0)．

(2)如圖，存在點E使EODA為平行四邊形．

∵EO∥AC，

∴==．

(3)當點BD＝DC時，點D在BC的垂直平分線上，則點D的橫坐標為，

將x＝代入直線AC的解析式得：y＝，

∴此時點D的坐標為(，)．

如圖所示：

FC＝＝5，

∴BC＝CF，

∴當點D與點F重合時，△BCD為等腰三角形，

∴此時點D的坐標為(0，3)；

當點D與點F關于點C對稱時，CD＝CB，

∴此時點D的坐標為(8，﹣3)，

當BD＝DC時，設點D的坐標為(x，﹣x+3)，

依據兩點間的距離公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，

解得x＝4(舍去)或x＝﹣，

將x＝﹣代入y＝﹣x+3得y＝，

∴此時點D的坐標為(﹣，)．

綜上所述點D的坐標為(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．