Question

【題目】如圖，直線l與⊙O相離，過點O作OA⊥l，垂足為A，OA交⊙O于點B，點C在直線l上，連接CB并延長交⊙O于點D，在直線l上另取一點P，使∠PCD=∠PDC．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AC=1，AB=2，PD=6，求⊙O的半徑r和△PCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∴∠ABC=∠OBD=∠ODB，

∵OA⊥l，

∴∠PCD+∠ABC=90°，

∴∠PCD+∠ODB=90°，

∵∠PCD=∠PDC，

∴∠PDC+∠ODB=90°，即∠ODP=90°，

∴PD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠PCD=∠PDC，

∴PC=PD=6，

∴PA=5，

設OB=OF=OD=r，

由PA2+AO2=PD2+OD2可得52+（2+r）2=62+r2，

解得：r= ，

延長AO交⊙O于點F，連接DF，

∵∠ABC=∠DBF、∠BAC=∠BDF=90°，

∴△ABC∽△DBF，

∴ = ，即 = ，

∴DB= ，

過點D作DE⊥PC于點E，

∴△CAB∽△CED，

∴ = ，即 = ，

解得：DE= ，

∴S△PCD= PCDE= ×6× = ．

【解析】（1）連接OD，知∠ABC=∠OBD=∠ODB，由∠PCD+∠ABC=90°知∠PCD+∠ODB=90°，結合∠PCD=∠PDC可得∠ODP=90°，即可得證；（2）由∠PCD=∠PDC知PC=PD=6、PA=5，根據PA2+AO2=PD2+OD2可得r= ；延長AO交⊙O于點F，連接DF，證△ABC∽△DBF得 = ，即可知DB= ，作DE⊥PC于點E，由△CAB∽△CED知 = ，求得DE= ，從而求得△PCD的面積．
【考點精析】利用切線的判定定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．