Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2．
（1）若DG=6，求AE的長；
（2）若DG=2，求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD=6，AH=2

∴DH=AD﹣AH=4

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=90°

∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2

在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2

∵四邊形EFGH是菱形

∴HG=HE

∴DH2+DG2=AH2+AE2

即42+62=22+AE2

∴AE= =4

（2）證明：∵AH=2，DG=2，

∴AH=DG，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴HG=HE，

在Rt△DHG和Rt△AEH中，

，

∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形

【解析】（1）先根據矩形的性質，利用勾股定理列出表達式：HG2=DH2+DG2 ， HE2=AH2+AE2 ， 再根據菱形的性質，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2 ， 最后計算AE的長；（2）先根據已知條件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因為∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一個角為90°，進而判定該菱形為正方形．
【考點精析】掌握菱形的性質和矩形的性質是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．