Question

【題目】△ABC中，AB=AC=5．
（1）如圖1，若sin∠BAC= ，求S△ABC；

（2）若BC=AC，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)到P，使∠APD=∠B，延長(zhǎng)AC交PD于N，連接MN．
①如圖2，求證：AM=MN；
②如圖3，當(dāng)PC⊥BC時(shí)，則CN的長(zhǎng)為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作高CD，由AB=AC=5，sin∠BAC= ，得高CD=4，

所以S△ABC= ×5×4=10

（2）

解：①如圖2，過(guò)N作NH⊥MD于H點(diǎn)，

∵AB=AC，BC=AC，BC=CD，

∴AB=CD，△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠NCD，

∴∠NCD=∠B=60°，

∵∠AND=∠APD+∠PAN，

∠AMB=∠ACB+∠PAN，

又∵∠APD=∠B=∠ACB，

∴∠CND=∠AMB，

∴△ABM≌△DCN，

則BM=CN，AM=DN，

在Rt△CNH中，∠CNH=90°﹣60°=30°，

∴CH= CN，又CD= BD，

CD﹣CH= （BD﹣CN）═ （BD﹣BM），

即DH= DM，

所以MN=DN=AM；

②如圖3，過(guò)A作AG⊥BD，過(guò)N作NH⊥BD，垂足分別為G、H，

則BG= ，AG= ，

設(shè)CH=x，則CN=2x，BM=2x，DH=5﹣x，NH= x，

∵NH∥PC，

∴ ，

∴ ，PC= ，

∵tan∠AMB= = ，tan∠PMC= = ，

∴ = ，

∴2x2+10x﹣25=0，

x1= ，x2= （舍去），

∴CN=2x=5 ﹣5．

故答案為：5 ﹣5．

【解析】（1）作AB邊上的高CD，根據(jù)三角函數(shù)可求得CD，則可求得△ABC的面積；（2）①過(guò)N作NH⊥MD于H點(diǎn)，可證明△ABM≌△DCN，再結(jié)合△ABC為等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)可求得△MND為等腰三角形，可證得結(jié)論；②作輔助線構(gòu)建直角三角形，在30°的直角△CNH中設(shè)CH=x，表示出DH、GM，并利用平行線，得出比例式，求出PC的長(zhǎng)，再利用同角三角函數(shù)值列等式，求出x的值，則CN=2x=5 ﹣5．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）才能正確解答此題．