Question

【題目】如圖（1）是一個晾衣架的實物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一個滑槽，點P在滑槽MN上、下移動時，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖（2）所示，已知每個菱形的邊長均為20cm，且AB=CD=CP=DM=20cm．
（1）當點P向下滑至點N處時，測得∠DCE=60°時 ①求滑槽MN的長度；
②此時點A到直線DP的距離是多少？
（2）當點P向上滑至點M處時，點A在相對于（1）的情況下向左移動的距離是多少？ （結果精確到0.01cm，參考數據 ≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

【答案】
（1）解：①當點P向下滑至點N處時，如圖1中，作CH⊥DN于H．

∵∠DCE=60°，

∴∠DCN=180°﹣∠DCE=120°，

∵CD=CP=20cm，即CD=CN=20cm，

∴∠CDN= （180°﹣∠DCN）=30°，

∴CH= CD=10cm，NH=DH= =10 （cm），

∴MN=DN﹣DM=2DH﹣DM=20 ﹣20≈14.6cm．

∴滑槽MN的長度為14.6cm．

②根據題意，點A到直線DP的距離是6CH=6×10=60cm

（2）解：當點P向上滑至點M處時，如圖2中，△CMD是等邊三角形，

∴∠CDM=60°，

作CG⊥DM于G，則CG=CDsin60°=20× =10 （cm），

此時點A到直線DP的距離是6CG=6×10 =60 ，

∵60 ﹣60≈43.9cm，

∴點A在相對于（1）的情況下向左移動的距離是43.9cm

【解析】（1）①當點P向下滑至點N處時，如圖1中，作CH⊥DN于H．△CDN是等腰三角形，求出NH的長即可解決問題；②根據題意，點A到直線DP的距離是6CH=6×10=60cm．（2）當點P向上滑至點M處時，如圖2中，△CMD是等邊三角形，求出此時點A到直線DP的距離即可解決問題；
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．