Question

如圖，⊙O的半徑為2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中點(diǎn)．
（1）如圖①，試說(shuō)明：點(diǎn)O、E關(guān)于A(yíng)B對(duì)稱(chēng)（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直線(xiàn)AB折疊（如圖②）⊙O的動(dòng)弦CD始終與折疊后的弧AB相切，求CD的長(zhǎng)度的變化范圍．

Answer 1

（1）證明：連接OA，OB，AE，BE，OE，且AB與OE交于點(diǎn)C．
∵E是劣弧AB的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，且AC=BC（垂徑定理），
∠AOE=∠BOE=

1

2

∠AOB．
∵

AB

=120°，∴∠AOB=120，∠AOE=∠BOE=60°．
∵AO=OE，∴△AOE是等邊三角形．
∴OC=EC（等腰三角形“三線(xiàn)合一”）
∴AB垂直平分OE．
因此，點(diǎn)O，E關(guān)于A(yíng)B對(duì)稱(chēng)．

（2）當(dāng)弦CD過(guò)圓心O時(shí)最長(zhǎng)，即是直徑，CD=4；
當(dāng)弦CD過(guò)A或B與折疊后的弧相切時(shí)最短．這時(shí)CD與AE垂直（假設(shè)C與點(diǎn)A重合）．
連接DE，則DE過(guò)圓心O（直角所對(duì)的弦是直徑），
∵∠AED=60度（在證對(duì)稱(chēng)時(shí)已證），
AE=AO=2，ED=4，所以，AD=

16-4

=2

3

．
CD的長(zhǎng)度變化范圍是：2

3

≤CD≤4．