Question

【題目】如圖1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線，以O為圓心，OA為半徑作圓交AE于點G．

（1）求證：直線PE是⊙O的切線；

（2）在圖2中，設PE與⊙O相切于點H，連結AH，點D是⊙O的劣弧上一點，過點D作⊙O的切線，交PA于點B，交PE于點C，已知△PBC的周長為4，tan∠EAH=，求EH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是⊙O的切線；

（2）先利用切線的性質和△PBC的周長為4求出PA=2，再用三角函數求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割線定理即可．

試題解析：（1）如圖1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分線，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∵∠OHP=∠OAP，∠OPH=∠OPA，OP=OP，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半徑，∴OH是⊙O的半徑，∵OH⊥PE，∴直線PE是⊙O的切線．

（2）如圖2，連接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切線，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周長為4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切線，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴==，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切線，EGA是⊙O的割線，∴=EG×EA=EG×（EG+AG）==，∴EH=．